浅谈微积分与e^x理解
文章目录
一) 背景二) 微分，积分之间的关系三) 链式法则四) 关于
e
x
e^x
ex 的理解
【全文大纲】 : https://blog.csdn.net/Engineer_LU/article/details/135149485
一) 背景
微积分（Calculus）是数学中的一个基础学科，主要研究函数的微分（Differentiation）和积分（Integration）及其应用。微积分包括微分学和积分学两部分，分别研究函数在某一点的瞬时变化率和在一段区间内的累积变化量
微分学研究函数在某一点的瞬时变化率，主要包括极限理论、导数和微分等内容。导数描述了函数在某一点的斜率或变化率，可以用于求解最大值、最小值和拐点等问题。微分则是导数的另一种表达方式，用于描述函数在某点的微小变化量
积分学研究函数在一段区间内的累积变化量，主要包括定积分和不定积分等内容。定积分用于计算曲线的长度、面积、体积等，而不定积分则是求定积分的逆运算。积分在物理和工程中有广泛应用，例如计算物体的质量、速度等
微积分的历史可以追溯到17世纪，由艾萨克·牛顿和莱布尼茨独立发明。微积分的思想在古代已有萌芽，例如古希腊的泰勒斯和阿基米德的研究工作。现代微积分广泛应用于自然科学、工程学、经济学等领域，是现代科学和技术的基础
以下开展的规律与理解为个人思考总结而得，若有错误，欢迎指正，谢谢大家
二) 微分，积分之间的关系
1. 当变量在底数，指数是常数时，求导规律为
d
d
x
x
n
=
n
x
n
−
1
\frac d {dx} x^{n} = nx^{n-1}
dxdxn=nxn−1
2. 当变量在底数，指数是常数时，积分规律为
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
\int x^ndx = \frac {x^{n+1}} {n+1}+C
∫xndx=n+1xn+1+C
3. 当变量在指数，底数是 e 时，求导规律为
d
d
x
e
a
x
=
a
e
a
x
\frac d {dx} e^{ax} = ae^{ax}
dxdeax=aeax
4. 当变量在指数，底数是 e 时，积分规律为
∫
e
a
x
d
x
=
e
a
x
a
+
C
\int e^{ax}dx = \frac {e^{ax}} {a}+C
∫eaxdx=aeax+C
5. 当变量在指数，底数是常数时，根据链式法则求导如下，另外
3
x
3^x
3x 可以写成
e
l
n
(
3
x
)
e^{ln(3^x)}
eln(3x)也可以写成
e
x
∗
l
n
(
3
)
e^{x*ln(3)}
ex∗ln(3) , 由于
e
x
e^x
ex 求导是自身，所以下方结果
3
a
x
3^ax
3ax 不变，仅多了关于非e常数计算出来的系数
d
y
d
x
=
d
y
d
u
∗
d
u
d
x
\frac {dy} {dx} = \frac {dy} {du} * \frac {du} {dx}
dxdy=dudy∗dxdu
d
y
d
u
=
d
d
u
3
u
=
3
u
∗
l
n
(
3
)
\frac {dy} {du} = \frac {d} {du} 3^{u} =3^u*ln(3)
dudy=dud3u=3u∗ln(3)
d
u
d
x
=
d
d
x
a
x
=
a
\frac {du} {dx} = \frac {d} {dx} ax =a
dxdu=dxdax=a
d
d
x
3
a
x
=
3
a
x
∗
a
l
n
(
3
)
\frac d {dx} 3^{ax} = 3^{ax} * aln(3)
dxd3ax=3ax∗aln(3)
6. 当变量在指数，底数是3时，积分规律为
∫
e
a
x
d
x
=
3
a
x
a
∗
l
n
(
3
)
+
C
\int e^{ax}dx = \frac {3^{ax}} {a*ln(3)}+C
∫eaxdx=a∗ln(3)3ax+C
总结 : 微积分里有一个概念，积分与微分是逆运算的关系，而以变量在指数时，这句话就直接体现出来了，原函数
e
a
x
e^{ax}
eax 乘系数a为导数，除系数a为积分，因此为逆运算的关系，这里以导数，原函数，积分来分析
三) 链式法则
1. 链式法则的意义在于对任何一个函数求导，都可以从从外层到内层，一层一层求导，从而得出整个原函数的导数，如果
y
=
f
(
g
(
x
)
)
y = f(g(x))
y=f(g(x)) 那么 :
d
y
d
x
=
d
y
d
u
∗
d
u
d
x
\frac {dy} {dx} = \frac {dy} {du} * \frac {du} {dx}
dxdy=dudy∗dxdu
d
y
d
x
=
d
f
d
g
∗
d
g
d
x
\frac {dy} {dx} = \frac {df} {dg} * \frac {dg} {dx}
dxdy=dgdf∗dxdg
2. 或者用符号来表示 :
d
d
x
f
(
g
(
x
)
)
=
f
′
(
g
(
x
)
∗
g
′
(
x
)
)
\frac {d} {dx} f(g(x)) = f' (g(x)*g'(x))
dxdf(g(x))=f′(g(x)∗g′(x))
3. 应用到多个层级的复合函数
d
y
d
x
=
f
′
(
g
(
h
(
x
)
)
∗
g
′
(
h
(
x
)
)
)
∗
h
′
(
x
)
\frac {dy} {dx} = f' (g(h(x))*g'(h(x)))*h'(x)
dxdy=f′(g(h(x))∗g′(h(x)))∗h′(x)
4. 应用到更多复合函数
d
y
d
x
=
f
1
′
(
f
2
′
(
.
.
.
(
f
n
(
x
)
)
)
)
∗
f
2
′
(
f
3
(
.
.
.
(
f
n
(
x
)
)
)
)
.
.
.
.
.
.
(
f
n
′
(
x
)
)
\frac {dy} {dx} = f_1'(f_2'(...(fn(x))))*f_2'(f3(...(f_n(x))))......(f_n'(x))
dxdy=f1′(f2′(...(fn(x))))∗f2′(f3(...(fn(x))))......(fn′(x))
总结 : 基于步骤1，2可以总结出链式法则可以从外层到内层逐层求导，最后全部乘在一起，得到整个原函数的导数，那么当知道原函数导数，也可以用几层的导数来求出某一层的导数
四) 关于
e
x
e^x
ex 的理解
1 .
e
x
e^x
ex很神奇，因为它的导数和积分都是自身，属于天选了，在这方规则下，冥冥之中
e
x
e^x
ex 为天地宇宙的自然规律，
e
e
e 也被称之为自然常数，
e
e
e 用数学来描述则是
(
1
+
1
n
)
n
(1+\frac 1 n)^n
(1+n1)n 当n趋向于无穷，则该式子的结果被定义为
e
e
e，若用生活中的例子表示
e
e
e，则有个恰当的例子，也就是复利，假设银行存定期一年的利率是100%，当然，实际银行不会给这么高的利率，这里只是假设，而银行允许你中途取出再存入，那么存半年的利率就是50%，也就是说你存100块，半年后加上利息是150块后再存入，直到再过半年，那么此时150*1.5=225，可以明显看到如果银行允许你重复取出再存入不重新调整利率的话，那么存半年会比存一年多了25块，那么如果我每天都这样存进去又拿出来再存进去呢，那么结果将是
(
1
+
1
365
)
365
≈
2.71456
(1+\frac 1 {365})^{365} ≈ 2.71456
(1+3651)365≈2.71456， 这里明显看到n从2到365，结果增长的速度会随着n的增加而减小，当n趋向于无穷时，结果 ≈ 2.718281828459，是个无限不循环小数，按生活中例子来再分析一下思想，是什么限制了这个结果，个人理解是一开始的100%利率，也就是说在规定时间内产生100%的效益这个条件本身就是限制后面结果的根源，而我们的世界，每样事情都有时间周期，都有效益的上限，周期是未知，上限被认为是100%，因此
e
e
e 与很多发展的规律都息息相关
2 . 上面说了那么多解释了
e
e
e 的由来，那么
e
x
e^x
ex 又是怎么回事？ 先用数学证明一下为什么
e
x
e^x
ex 的导数与积分都是自身 :
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(x+\Delta x) - f(x)} {\Delta x}
f′(x)=limΔx→0Δxf(x+Δx)−f(x)
3 . 对于
f
(
x
)
=
e
x
f(x) = e^x
f(x)=ex，代入得 :
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
e
x
+
Δ
x
−
e
x
Δ
x
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {e^{x+\Delta x} - e^x} {\Delta x}
f′(x)=limΔx→0Δxex+Δx−ex
4 . 基于指数法则
e
x
+
Δ
x
=
e
x
e
Δ
x
e^{x+\Delta x} = e^xe^{\Delta x}
ex+Δx=exeΔx ，所以 :
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
e
x
e
Δ
x
−
e
x
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
e
x
(
e
Δ
x
−
1
)
Δ
x
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {e^xe^{\Delta x} - e^x} {\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {e^x (e^{\Delta x} - 1)} {\Delta x}
f′(x)=limΔx→0ΔxexeΔx−ex=limΔx→0Δxex(eΔx−1)
5 . 由于
e
x
e^x
ex是常数，能够提到外面 ，所以 :
f
′
(
x
)
=
e
x
lim
Δ
x
→
0
e
Δ
x
−
1
Δ
x
f'(x) = e^x \lim_{\Delta x \to 0} \frac {e^{\Delta x} - 1} {\Delta x}
f′(x)=exlimΔx→0ΔxeΔx−1
6 . 现在需要证明这个极限。可以利用
e
x
e^x
ex 在 x=0 处的泰勒展开式 或者看其改点加速度变化趋势其实是一样，所以 :
lim
Δ
x
→
0
e
Δ
x
−
1
Δ
x
=
1
\lim_{\Delta x \to 0} \frac {e^{\Delta x} - 1} {\Delta x}=1
limΔx→0ΔxeΔx−1=1
7 . 基于步骤6得到后段极限求出是1，所以
e
x
e^x
ex的导数是自身 :
f
′
(
x
)
=
e
x
∗
1
=
e
x
f'(x) = e^x *1 = e^x
f′(x)=ex∗1=ex
8 . 接下来求
e
x
e^x
ex积分, 定义如下：
∫
e
x
d
x
\int e^xdx
∫exdx
9. 根据定积分的基本性质，因为刚刚已经证明
e
x
e^x
ex的导数是自身，则用反向求导法展示为：
d
d
x
(
e
x
)
=
e
x
\frac d {dx}(e^x)=e^x
dxd(ex)=ex
10 . 因此，积分
∫
e
x
d
x
\int e^xdx
∫exdx的结果如下，其中C是常数 :
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
\int e^xdx = e^x+C
∫exdx=ex+C
总结 . 上面通过求极限的思路证明
e
x
e^x
ex的导数和积分是自身，总结是其极限变化趋势一致，因此极限相约得1，那么重点就是其极限变化趋势一致，有一种体会，
e
e
e在多维度下合成的增长速度或存在痕迹与原个体当下一样，那么冥冥之中过去，现在…亦是未来，合成在一起的我与平行时空合体的我是同一个我，这里有一种道，待有缘人理解…，冥冥中中万物归源
技术交流QQ群 : 745662457 群内专注问题答疑，项目外包，技术研究
